Аврамов е роден във Варна, където започва баскетболния си път в школата на Черно Море и едва на 16 години дебютира в мъжкия отбор. През 2010 година подписва с Лукойл Академик, с който става три пъти поред шампион (2011, 2012 и 2013 година) и три пъти е носител на Купата на България в същия период. След кратък престой в чужбина, отново облича екипа на Лукойл Академик, с който триумфира с още три титли (2015, 2016 и 2017 година).
В България е играл още за отборите на Левски Лукойл, с който също става шампион, както и за Балкан Ботевград, Спартак Плевен и ЦСКА. Има и 54 официални мача за националния отбор на България.
“За мен е голямо удоволствие, че се присъединявам към отбора на Локомотив Пловдив. След провеждане на няколко разговора с ръководството останах с много добри впечатления за цялостното развитие на отбора в бъдеще. Очаквам всеки мач залата да е пълна и да направим един добър сезон, в който да сме удовлетворени от добре свършената работа", заяви Аврамов, цитиран официалната страница на клуба във Фейсбук.
Председателят на БК Локомотив Евелин Парасков изрази радостта си от привличането на Аврамов.
“Изключителна чест и привилегия за всички нас е, че Божидар Аврамов прие да участва в нашия проект. Той е състезател с много опит, много спечелени трофеи и за всички, които разбират от баскетбол, той е много над нивото, в което ще играе. Всъщност това важи за повечето наши състезатели. Предстои да го докажем по време на сезона. Добре дошъл, Божо", коментира Парасков.
През миналата седмица Локомотив обяви трансфера и на Кръстомир Михов. Младежкият национал на България ще играе при "черно-белите" с двоен лиценз от Берое Стара Загора.